Підготовчі завдання з Математики для національного мультипредметного тесту

Тренувальний онлайн-тренажер

Скоро також: 🇺🇦 Українська · 📅 Історія України · 🌐 Англійська

Вітаємо,

Готові продовжити підготовку до НМТ? Ваш прогрес зберігається.

0 Сьогодні

0 Всього

— Кращий бал

— Середній %

— Слабка тема

0 Серія 🔥

Останні проходження

Алгебра і початки аналізу (довідкові матеріали ЗНО).

Таблиця квадратів натуральних чисел (10–49)

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361
2	400	441	484	529	576	625	676	729	784	841
3	900	961	1024	1089	1156	1225	1296	1369	1444	1521
4	1600	1681	1764	1849	1936	2025	2116	2209	2304	2401

Одиниці — по горизонталі, десятки — у першому стовпці. Наприклад: \(17^2 = 289\), \(34^2 = 1156\).

Таблиця значень тригонометричних функцій деяких кутів

град	рад	\(\sin\alpha\)	\(\cos\alpha\)	\(\operatorname{tg}\alpha\)
0°	0	0	1	0
30°	\(\pi/6\)	\(1/2\)	\(\sqrt{3}/2\)	\(1/\sqrt{3}\)
45°	\(\pi/4\)	\(\sqrt{2}/2\)	\(\sqrt{2}/2\)	1
60°	\(\pi/3\)	\(\sqrt{3}/2\)	\(1/2\)	\(\sqrt{3}\)
90°	\(\pi/2\)	1	0	—
180°	\(\pi\)	0	−1	—
270°	\(3\pi/2\)	−1	0	—
360°	\(2\pi\)	0	1	0

Формули скороченого множення

\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \), \(\ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \), \(\ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)

Квадратне рівняння

\( ax^2 + bx + c = 0 \), \( a \ne 0 \). Дискримінант: \( D = b^2 - 4ac \).

\( x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} \), \(\ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \) при \( D > 0 \); \(\ x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a} \) при \( D = 0 \).

\( ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \).

Модуль числа

\( |a| = a \), якщо \( a \ge 0 \); \(\ |a| = -a \), якщо \( a < 0 \).

Степені

\( a^1 = a \), \(\ a^n = a \cdot a \cdot \ldots \cdot a \) (\( n \) разів), \( a \in \mathbb{R} \), \( n \in \mathbb{N} \), \( n \ge 2 \).

\( a^0 = 1 \) (\( a \ne 0 \)); \(\ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \) (\( a \ne 0 \), \( n \in \mathbb{N} \)); \(\ a^{2} = |a| \).

\( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \), \( a > 0 \), \( m \in \mathbb{Z} \), \( n \in \mathbb{N} \), \( n \ge 2 \).

\( a^x \cdot a^y = a^{x+y} \), \(\ \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y} \), \(\ (a^x)^y = a^{xy} \), \(\ (ab)^x = a^x b^x \), \(\ \left(\frac{a}{b}\right)^x = \frac{a^x}{b^x} \).

Логарифми

\( a > 0 \), \( a \ne 1 \), \( b > 0 \), \( c > 0 \), \( k \ne 0 \).

\( a^{\log_a b} = b \), \(\ \log_a a = 1 \), \(\ \log_a 1 = 0 \).

\( \log_a(b \cdot c) = \log_a b + \log_a c \), \(\ \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c \).

\( \log_a b^n = n \cdot \log_a b \), \(\ \log_a \sqrt[k]{b} = \frac{1}{k} \log_a b \).

Арифметична прогресія

\( a_n = a_1 + d(n - 1) \), \(\ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \).

Геометрична прогресія

\( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \), \(\ S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} \), \( q \ne 1 \).

Комбінаторика та теорія ймовірностей

\( P_n = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n = n! \).

\( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \), \(\ A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \), \(\ P(A) = \frac{k}{n} \).

Похідна функції

\( (C)' = 0 \), \(\ (x)' = 1 \), \(\ (x^{\alpha})' = \alpha x^{\alpha - 1} \), \(\ (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \), \(\ (e^x)' = e^x \), \(\ (\ln x)' = \frac{1}{x} \).

\( (\sin x)' = \cos x \), \(\ (\cos x)' = -\sin x \), \(\ (\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x} \).

\( (u \pm v)' = u' \pm v' \), \(\ (uv)' = u'v + uv' \), \(\ (Cu)' = Cu' \), \(\ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

Тригонометрія

\( \sin\alpha = \frac{y}{r} \), \(\ \cos\alpha = \frac{x}{r} \), \(\ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \).

\( \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \), \(\ 1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} \).

\( \sin 2\alpha = 2\sin\alpha \cos\alpha \), \(\ \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha \).

\( \sin(90° + \alpha) = \cos\alpha \), \(\ \sin(180° - \alpha) = \sin\alpha \); \(\ \cos(90° + \alpha) = -\sin\alpha \), \(\ \cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha \).

\( \operatorname{tg}(90° + \alpha) = -\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} \), \(\ \operatorname{tg}(180° - \alpha) = -\operatorname{tg}\alpha \).

Первісна та визначений інтеграл

\( \int_a^b f(x)\,dx = F(x)\big|_a^b = F(b) - F(a) \) — формула Ньютона–Лейбніца (\( C \) — стала).

\( \int 0\,dx = C \); \(\ \int x^{\alpha}\,dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C \), \( \alpha \ne -1 \); \(\ \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C \).

\( \int e^x\,dx = e^x + C \); \(\ \int \sin x\,dx = -\cos x + C \); \(\ \int \cos x\,dx = \sin x + C \); \(\ \int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx = \operatorname{tg} x + C \).

Геометрія (довідкові матеріали ЗНО).

Довільний трикутник

\( p = \frac{a + b + c}{2} \), \(\ \alpha + \beta + \gamma = 180° \).

\( S = \frac{1}{2} a \cdot h_a \), \(\ S = \frac{1}{2} bc\sin\alpha \), \(\ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \).

\( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha \); \(\ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R \) (\( R \) — радіус описаного кола).

Прямокутний трикутник

\( a^2 + b^2 = c^2 \) (теорема Піфагора). \(\ \frac{b}{c} = \cos\alpha \), \(\ \frac{a}{c} = \sin\alpha \), \(\ \frac{a}{b} = \operatorname{tg}\alpha \).

Чотирикутники

Паралелограм: \( S = ab\sin\gamma \), \(\ S = a \cdot h_a \). Прямокутник: \( S = ab \).

Ромб: \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \) (\( d_1 \), \( d_2 \) — діагоналі). Трапеція: \( S = \frac{a + b}{2} \cdot h \) (\( a \), \( b \) — основи).

Коло та круг

\( (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2 \). Довжина кола: \( L = 2\pi R \). Площа круга: \( S = \pi R^2 \).

Координати та вектори

Середина відрізка: \( x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} \), \(\ y_0 = \frac{y_1 + y_2}{2} \), \(\ z_0 = \frac{z_1 + z_2}{2} \).

Вектор \( \overrightarrow{AB}(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) \); \(\ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2} \).

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \), \(\ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\varphi \).

Пряма призма

\( V = S_{\text{осн}} \cdot H \), \(\ S_{\text{б}} = P_{\text{осн}} \cdot H \).

Правильна піраміда

\( V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot H \), \(\ S_{\text{б}} = \frac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot m \).

Циліндр

\( V = \pi R^2 H \), \(\ S_{\text{б}} = 2\pi R H \).

Конус

\( V = \frac{1}{3} \pi R^2 H \), \(\ S_{\text{б}} = \pi R L \).

Куля (сфера)

\( V = \frac{4}{3} \pi R^3 \), \(\ S = 4\pi R^2 \).

Підготовчі завдання з Математики для національного мультипредметного тесту

Ласкаво просимо до НМТ-тренажера!

Вітаємо,

Останні проходження

Безкоштовний пробний тест НМТ10 питань за 5 хвилин, без реєстрації

Як це працює

Підготуйся до НМТ впевнено

Почати підготовку

Тестування в класі

Почніть тренувальний варіант НМТ

Виберіть предмет